Koordinatensysteme dienen dazu die Lage von Punkten zu beschreiben. Du lernst hier das x-y Koordinatensystem für die Ebene kennen und wie man Punkte in dieses einträgt. Im Anschluss sehen wir uns noch das x-y-z Koordinatensystem für den Raum an. Die Inhalte liegen als Text und als Video vor.
Koordinatensysteme dienen dazu anzugeben, wo sich etwas befindet. Sie werden zum Beispiel bei Karten eines Navigationsgerätes benutzt, um mit dem Auto von einer Stadt in eine andere Stadt zu fahren. Mit einem Koordinatensystem lässt sich auch beschreiben, wo sich ein Gegenstand auf einem Tisch befindet.
Ein Koordinatensystem setzt sich aus mindestens zwei Zahlengeraden zusammen. Eine Zahlengerade ist eine Linie, auf der in gleichen Abständen Zahlen eingetragen werden.
Legt man eine Zahlengerade von links nach rechts (horizontal) und eine weitere Zahlengerade von unten nach oben (senkrecht) erhält man ein Koordinatensystem.
Ein Koordinatensystem kann dabei sowohl positive Zahlen als auch negative Zahlen enthalten. Sehen wir uns nun wichtige Begriffe zum Koordinatensystem an und wie man Punkte in dieses einzeichnet.
Kartesisches Koordinatensystem
In der Schule wird meistens das kartesische Koordinatensystem behandelt. Das Besondere beim kartesischen Koordinatensystem ist, das die Achsen senkrecht aufeinander stehen. In der nächsten Grafik sind die Achsen in rot und blau eingezeichnet und stehen stehen senkrecht aufeinander.
In der Schule wird meistens das x-y-Koordinatensystem behandelt. Folgende Begriffe und Zusammenhänge solltest du kennen:
- Die x-Achse läuft von links nach rechts und wird auch Abszisse genannt.
- Die y-Achse läuft von unten nach oben und wird auch Ordinate genannt.
- Die Achsen schneiden sich im Ursprung.
- Der Ursprung liegt bei x = 0 und y = 0.
Hinweis: In der Oberstufe wird die x-Achse manchmal auch x1-Achse genannt und die y-Achse wird zur x2-Achse.
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Quadratenten des Koordinatensystems
Koordinatensysteme werden in 4 Quadranten unterteilt. Die Quadranten werden entgegen dem Uhrzeigersinn durchnummeriert.
- Der 1. Quadrant befindet sich rechts oben.
- Der 2. Quadrant befindet sich links oben.
- Der 3. Quadrant befindet sich links unten.
- Der 4. Quadrant befindet sich rechts unten.
Werden in ein Koordinatensystem nur positive Zahlen (zum Beispiel 1, 2, 3, ...) eingetragen, reicht es aus, nur den 1. Quadranten zu zeichnen. Kommen hingegen auch negative Zahlen vor werden auch weitere Quadranten gezeichnet. Dies hängt von den Punkten ab, die in das Koordinatensystem eingezeichnet werden sollen. Mehr dazu im nächsten Abschnitt.
Punkte einzeichnen: x-Achse und y-Achse
In Koordinatensysteme werden Punkte eingezeichnet. Punkte dienen dazu anzugeben, wo sich etwas befindet. Bei einem x-y-Koordinatensysteme werden Punkte wie folgt definiert:
Die vordere Zahl gibt den x-Wert an, die hintere Zahl gibt den y-Wert an. Um einen Punkt einzuzeichnen, gehst du auf der x-Achse so weit nach rechts bis du den x-Wert erreichst. Von dort aus gehst du so weit nach oben bis du den y-Wert erreichst. Als Beispiel soll der Punkt P(3|2) eingezeichnet werden.
Auf der x-Achse gehen wir bis x = 3 und zeichnen eine Linie nach oben. Von y = 2 gehen wir nach rechts. Der Schnittpunkt der beiden Linien ist unser gesuchter Punkt.
Punkte mit negativen Zahlen können ebenfalls in ein (kartesisches) Koordinatensystem eingetragen werden. Dazu muss das Koordinatensystem mit weiteren Quadraten gezeichnet werden. Das nächste Beispiel zeigt das Eintragen des Punktes P(-2|-3) in ein Koordinatensystem
Den Punkt erreichen wir, indem wir auf der x-Achse von -2 aus nach unten gehen, bis wir die -3 auf der y-Achse erreichen.
Oftmals werden mehrere Punkte in ein Koordinatensystem eingezeichnet und verbunden. Dadurch entstehen Dreiecke, Vierecke oder andere geometrische Formen. Sehen wir uns dazu ein Beispiel an.
Dreieck und Punkte im x-y Koordinatensystem
Aufgaben zum Koordinatensystem sehen zum Beispiel so aus: Die Punkte A(4|4), B (-3|2) und C(-2|-3) sollen in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden. Verbinde die Punkte miteinander und zeichne ein Lot vom Punkt B auf die Strecke AC. Im ersten Schritt der Lösung zeichnen wir die drei Punkte in das Koordinatensystem ein und verbinden diese.
Im nächsten Schritt zeichnen wir vom Punkt B aus eine Strecke auf die Seite des Dreieckes von C nach A. Dabei muss darauf geachtet werden, dass diese neue Strecke senkrecht auf CA liegt. Dies kann sehr einfach mit einem Geodreieck erreicht werden.
Manchmal muss die Lage von Objekten nicht nur in der Ebene eingezeichnet werden, sondern im Raum. Dies sehen wir uns im nächsten Abschnitt an.
x-y-z Koordinatensystem im Raum
Koordinatensysteme im Raum werden als 3D-Koordiantensysteme bezeichnet. In der Schule werden sie manchmal auch x-y-z Koordinatensysteme genannt. Ein solches Koordinatensystem besteht aus 3 Achsen. Meistens wird die Achse nach vorne als x-Achse bezeichnet, nach rechts zu die y-Achse und nach oben hin die z-Achse.
Bei einem Koordinatensystem mit 3 Achsen werden Punkte mit 3 Angaben angegeben. Die allgemeine Schreibweise lautet wie folgt.
Um einen räumlichen Punkt einzuzeichnen, gehst du zunächst auf der x-Achse nach vorne oder hinten. Ist die Stelle auf der x-Achse erreicht, wird um den y-Punkt nach rechts oder links gegangen. Und von dort aus um den z-Wert nach oben oder unten. Das nächste Koordinatensystem zeigt ein Beispiel.
Das eindeutige Ablesen von Punkten in einem räumlichen Koordinatensystem ist nicht möglich, denn auf einer ebenen Darstellung (2D) können räumliche Inhalte (3D) nicht eindeutig dargestellt werden können.
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